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les mathématiques ACIM

dimanche 10 juin 2007, par Henri Planchon

par Henri Planchon

La démarche ACIM propose une image des mathématiques qui s’appuie sur la pensée de Wittgenstein. A travers cette démarche, nous souhaitons proposer une discipline qui participe

-  à l’éducation de la pensée mathématique et du raisonnement logique,

-  au développement de l’abstraction, de l’imagination, de la construction des connaissances - à l’aide de l’outil "modélisation systémique".




ACIM cherche à donner du sens aux mathématiques, à leur redonner une dimension éthique et émotionnelle.

En effet, l’enseignement des mathématiques est trop fréquemment dispensé pour être absorbé, consommé, souvent sans goût. Les savoirs sont affirmés comme vrais, il est demandé d’y adhérer, de les admettre, de les mémoriser et de les appliquer. Ce sont là des démarches qui ont troublé et malmené beaucoup de jeunes esprits.

La démarche ACIM souhaite donner à cet enseignement une couleur différente, moins froide, moins déterministe, moins strictement rationnelle. Proposer un enseignement qui puisse aussi apporter des émotions, du plaisir, faire naître un appétit de sens, le goût d’une compréhension large. Les connaissances peuvent être le résultat de recherches et de découvertes, l’aboutissement de cheminements personnels, sans pour cela que soit rejetée la rigueur nécessairement associée à l’enseignement des mathématiques. Une définition, une propriété, des règles, peuvent parfois s’imposer a priori ; mais ne pourraient-elles pas répondre à un désir de découverte, un besoin de sens, une tentative de résolution de problème ? ne pourraient-elles pas naître d’un mouvement d’organisation et de construction de systèmes à l’intérieur d’un contexte ? Un tel système contextuel, souvent complexe, produit du sens et peut faire apparaître ou reconnaître des liens, des ressemblances et des différences avec les connaissances antérieures. Il favorise également l’émergence d’intuitions et d’hypothèses.

Il ne s’agit pas de se substituer à l’enseignement classique des mathématiques mais de proposer d’autres formes d’approche des connaissances, des concepts, des définitions, des règles, notamment lorsqu’on s’adresse aux populations en délicatesse avec les mathématiques ou avec les activités scolaires en général.

La démarche ACIM met en avant l’exercice de la pensée mathématique, ce qui implique l’entraînement à l’abstraction et à la manipulation de signes non figuratifs, lesquels assurent une représentation de la réalité facilitant la réflexion et la résolution de problèmes. En effet, la pensée mathématique suppose un effort d’abstraction pour traduire le réel au moyen de signes arbitraires, mais aussi pour rendre compte de ce qui n’existe pas toujours matériellement, de ce qui pourrait exister.

Les mathématiques sont une discipline du développement de la pensée logique qui conduit à la construction de raisonnements étayés pouvant trouver leur application et leur vérification dans la réalité. Pour nous, c’est une pensée logique qui se manifeste, par exemple au sein d’un groupe d’apprenants, par le développement d’un langage original de mise en relation de signes écrits suivant une grammaire dégagée de la syntaxe ordinaire. Ainsi du sens peut s’élaborer au travers de démarches individualisées qui seront ensuite partagées à l’intérieur du groupe.

Cette discipline requiert de mobiliser son imagination dans la création d’un langage fait de signes et de symboles écrits utilisés en tant que supports et guides pour produire une pensée et une expression orale claires et structurées. Un tel langage demande un entraînement à l’abstraction vis-à-vis d’une réalité que l’on ne peut pas atteindre immédiatement, dont on n’a pas l’expérience de la manipulation directe, et sur laquelle on ne peut agir sans s’exposer à des conséquences imprévisibles et irréversibles. Il s’agit d’abstraire pour transporter le réel dans un monde particulier, artificiel mais partageable, un monde que je construis, qui est le mien, qui permet alors une expérimentation ouvrant sur l’invention.

Les mathématiques sont un monde que je dois inventer et qui n’existe que grâce à mon imagination. Un monde où je ne peux que produire des traces (signes, symboles) représentatives de mes perceptions, de mes pensées, de mes intuitions, de mon imaginaire, détour nécessaire pour rendre le réel appréhendable et manipulable.


Pour illustrer ce changement de monde, cette transformation et cette appropriation de la réalité, on peut considérer la situation du maître et de l’élève confrontés à

la découverte du ciel par une nuit d’été :

C’est une soirée d’été. Un adulte et un enfant se promènent. La nuit tombe. Le ciel étoilé se découvre peu à peu.

─ Regarde ce ciel. Regarde, c’est magnifique !

─ Oui, c’est beau, toutes ces étoiles dans le ciel. On n’y comprend rien. Il y en a vraiment beaucoup. Est-ce qu’on peut les compter ?

− C’est très difficile de les compter. Regarde, il y en a qui sont plus brillantes que d’autres, certaines sont à peine visibles, il y en a même qu’on ne peut pas voir. On dira qu’il y en a un très grand nombre.

− Mais combien ? Plus de mille ?

− A l’œil nu, on peut compter jusqu’à 5 à 6 000 étoiles, avec des jumelles on peut aller jusqu’à 10 000, avec des outils plus performants on arriverait à des millions et pour les astronomes ce seraient des milliards d’étoiles.

− Alors on peut dire qu’il y a une infinité d’étoiles dans le ciel. Et que je vois l’infini !

− Si tu veux, oui. Parmi toutes ces étoiles, il y en a une qui est particulière et que je voudrais te montrer, c’est l’Etoile Polaire, l’étoile qui indique le Nord. Elle est là, regarde...
L’adulte tend son bras dans la direction de l’Etoile Polaire.

− C’est laquelle ? Celle-là ou celle-là ?
L’enfant fait le même geste que l’adulte. Lequel prend alors conscience que l’indication qu’il donne est bien insuffisante pour repérer l’étoile désignée.

− Pour trouver cette étoile, nous allons d’abord nous mettre à la lumière avec un papier et un crayon.

− Qu’est-ce que tu fais ? C’est quoi ce dessin ?

− Je fais un dessin. C’est là la forme de la constellation que l’on appelle la Petite Ourse ou Ursa Minor. Là, les gros points sont les représentations des étoiles. Ce dessin, il est dans le ciel. Le dessin lui-même n’est pas tracé, c’est l’emplacement des étoiles qui va permettre de retrouver le dessin de la constellation dessinée.

− Il faut que je retrouve ton dessin dans le ciel. C’est pas facile, il faudrait effacer des étoiles.

− C’est ce que j’ai fait sur le papier. Regarde bien le dessin et essaie de le replacer avec les étoiles pour faire correspondre l’emplacement des étoiles avec le dessin ; les traits ne figurant évidemment pas dans le ciel, il faut les imaginer. On pourrait dire que cette constellation est composée d’une partie que l’on peut appeler le char, qui serait tiré par trois chevaux, trois étoiles. Sur le dessin, regarde, là le char, là les trois étoiles et elles se terminent par l’Étoile Polaire.

L’enfant regarde le papier attentivement, mémorise le dessin. Se perd dans l’immensité étoilée. L’aide de l’adulte s’avère alors utile. La direction qu’il indique permet à l’enfant de mieux se repérer.

− Ca y est ! J’ai trouvé ! Je vois ton dessin ! Je vois la constellation !
Alors c’est ça l’Etoile Polaire, elle est toute petite, elle est difficile à trouver et elle ne brille pas beaucoup.

− Pour la reconnaître, on se sert de la constellation de la Petite Ourse. Et pour aider encore à trouver la Petite Ourse on peut se repérer avec des étoiles plus brillantes qui forment la constellation de la Grande Ourse.

− Tu me fais le dessin de la Grande Ourse ?

─ Voilà le dessin de la constellation de la Grande Ourse. Tu pourras la repérer plus facilement parce qu’elle est formée par des étoiles plus brillantes. Regarde comment elle se situe par rapport à la Petite Ourse. Ce sera un moyen de vérifier que tu as bien situé la Petite Ourse. Et donc de retrouver plus facilement l’étoile Polaire.


La multiplicité des objets que l’on peut voir et imaginer dans ce ciel nocturne a donné lieu à des constructions arbitraires, les constellations. De même, en mathématiques se sont élaborés différents domaines, différentes structures, organisées de façon cohérente, fermées comme des constellations mais aussi en liaison les unes avec les autres. Ces différentes structures, ces différentes constellations, forment un ensemble : le ciel, les mathématiques.

Le dialogue présenté ci-dessus peut être considéré comme un exemple illustrant des stratégies possibles pour l’éducation de la pensée mathématique. Au départ, il y a une réalité intouchable, un monde extérieur complexe, difficile à appréhender, un monde que je dois investir, ici : le système stellaire. Il s’agit de ramener ces faits vers un monde plus proche par la médiation de traces écrites. Ceci peut s’effectuer par une projection de ce qui est perçu et sa traduction dans un langage artificiel et conventionnel, dans notre cas : l’organisation arbitraire de quelques étoiles entre elles. Le dessin de la constellation, observé et mémorisé, facilite la reconnaissance des étoiles ainsi que leur distinction au sein de la multitude et du désordre qu’elles constituent.

Ici, il faut distinguer le problème de l’adulte et celui de l’enfant :

- Pour l’adulte : comment donner les informations nécessaires pour que la connaissance soit accessible à l’enfant ? Comment aider celui-ci à élaborer l’image qui peut conduire à la connaissance ? Cette image, l’enfant aura besoin de la comprendre, de l’enrichir par extension, de l’interpréter pour en trouver différentes représentations possibles, avant de la mémoriser et de pouvoir l’appliquer dans des domaines variés. Les étoiles qui forment ici une constellation pourraient être des mots amenant à produire une proposition, image de la réalité d’une pensée.

- Pour l’enfant : écouter les propositions, les règles, les comprendre, les mémoriser, imaginer des représentations. Observer et retrouver la place du dessin dans la réalité afin de vérifier sa validité au travers de son application.


La situation du ciel étoilé nous fait retrouver les caractéristiques de la démarche ACIM. Il s’agit de :

-  Partir d’une réalité impossible à manipuler directement pour aboutir à un système de signes, de traces, par un exercice d’abstraction qui permet de travailler sur la construction d’une représentation de la réalité.

-  Travailler sur cette représentation pour chercher, inventer de nouvelles relations, de nouvelles organisations entre les signes afin de leur donner des significations nouvelles proches de connaissances déjà acquises.

-  Porter un autre regard sur la réalité pour produire du sens qui conduit à reconnaître du connu. En effet, avant de se perdre dans les étoiles, il faut trouver une sécurité, une représentation familière, une référence assurée. Ici : reconnaître un char formé de quatre étoiles et son attelage de trois chevaux.

-  Chercher à appliquer la règle pour résoudre le problème.

-  Découvrir l’objet recherché, la réponse, la définition, le concept, et même la règle, à la suite de cheminements personnels dans la résolution de la situation problème. Situation balisée par les traces écrites du système : la "modélisation systémique".

La modélisation est une forme de mathématisation de situations. C’est la représentation d’un système qui permet de développer et organiser des raisonnements, des discours et des débats. Un système qui offre des repères pour permettre un large développement de l’imagination, de l’intuition, La situation va pouvoir alors exister, prendre corps. Ce processus conduit, à terme, à la formalisation orale puis au passage à l’exigence normalisée de l’expression écrite nécessaire à la généralisation des connaissances et associée à la précision des définitions, à la clarté des propriétés caractéristiques.

Les mathématiques ne seraient-elles pas ainsi des productions personnelles plus que des connaissances imposées de l’extérieur ? Ces connaissances ne sont que le résultat de découvertes, de constructions qui s’appuient sur des savoirs déjà acquis On peut alors mieux les mémoriser et mieux les appliquer. Les mathématiques sont alors une discipline où les connaissances ne sont pas assénées toutes faites et a priori, mais où elles viennent conclure un cheminement personnel engagé dans la résolution d’un problème ou d’une situation qui pose problème.

ACIM cherche à promouvoir l’expérience du problème dans l’apprentissage des mathématiques. Le problème comme système dans lequel se dissimule un nœud dont les brins sont à détendre pour trouver celui qui conduira à l’organisation du désordre, à la découverte d’un ordre satisfaisant. Expérience du problème comme dépassement de l’impossible, de l’infaisable, de l’incompréhensible, de l’inaction.

La mathématique est trop souvent enseignée comme une discipline à laquelle il faut se soumettre, où il faut obéir et adhérer à la vérité des règles annoncées. Dans la démarche ACIM, les connaissances mathématiques voudraient être le résultat d’expérimentations sur des produits de l’abstraction. Cette expérience de l’abstraction passe non par l’appréhension d’objets par les sens, mais par la manipulation de signes représentatifs de faits ou d’états de faits impossibles à approcher, n’existant que dans un imaginaire qui doit prendre consistance et signification.

La représentation de réalités au moyen de traces écrites symboliques donne lieu à des productions complexes (modélisations systémiques) qui doivent servir d’exemple, non se présenter comme modèles. L’enseignant doit faire appel à la recherche de combinaisons de concepts élémentaires pour faciliter et permettre des cheminements variés conduisant à des concepts plus complexes, plus élaborés. Mais il doit aussi savoir dépasser le cadre du sujet traité afin d’offrir un espace de découverte où l’imagination puisse largement se développer. Vient alors l’activité de l’apprenant : maîtriser l’appréhension du désordre et de la complexité, de la provocation des signes ; produire de nouvelles interprétations, des hypothèses soumises à vérification critique ; organiser le pluriel des idées pour atteindre l’expression dépouillée d’une unité structurée.


En somme, ACIM cherche à entraîner

- à rêver le désordre, le complexe
- à poser les problèmes dans leur contexte
- à dominer les émotions qui leurs sont attachées,
- à en donner des représentations écrites symboliques
- à produire des hypothèses,
- à résoudre les problèmes mathématiques
- à se préparer à supporter et traiter les problèmes de la vie.

Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant d’être enseignées ? Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles d’un dynamisme affectif inhérent au désir, à la motivation. Rêver pour aborder plus aisément les productions plus objectives, plus rigoureuses propres à cette discipline.