l’enfant face au problème de mathématiques

jeudi 15 juillet 2010, par Henri Planchon, Marc-Olivier ROUX.

S’affronter à un problème de mathématiques n’est généralement pas une expérience indifférente. L’enfant le sait, l’adulte ne doit pas l’oublier. Source d’excitation et/ou d’angoisse, le problème est une provocation : il confronte l’élève à une question à laquelle, par définition, celui-ci ne peut pas répondre d’emblée. Face à cela, la tâche est complexe, sollicitant des compétences qui ne sont pas uniquement mathématiques ni même intellectuelles. L’enfant doit supporter la violence du problème qui lui arrive de l’extérieur, et en même temps surmonter le sentiment d’impuissance qui surgit de l’intérieur. Il doit trouver des ressources pour engager une démarche de recherche et de raisonnement, mais aussi pouvoir rendre compte des résultats auxquels il est parvenu. Tout cela fait que l’on ne saurait voir dans le problème de mathématiques un simple exercice dont les enjeux seraient exclusivement scolaires. C’est une expérience totale qui éveille des émotions et suscite des réactions, qui sollicite des attitudes et mobilise des compétences multiples.

D’un point de vue descriptif, rappelons que dans un problème arithmétique classique, l’élève se trouve face à une configuration de départ (la situation initiale décrite par l’énoncé) qui lui est donnée : « Maman va au marché, elle achète 3 kg d’oranges au prix de 4,50 €/kg » . En même temps, on lui fait miroiter l’existence d’une configuration plus vaste, constituée par la situation initiale complétée des éléments apportés par la solution : Maman a été au marché, elle a acheté 3 kg d’oranges à 4,50€ le kilo, elle a dépensé 13,50€. Entre ces deux configurations (l’actuelle et la virtuelle), il y a un vide, plus exactement un manque à lier. En effet, ce qui fait problème n’est pas tellement de savoir combien Maman a dépensé, mais bien plutôt de déterminer comment passer de l’énoncé à la solution. Résoudre le problème reviendra alors à réunir énoncé et solution grâce à l’élaboration d’une démarche et de résultats susceptibles de relier la situation insaturée présentée dans l’énoncé à la situation plus complète que laisse entrevoir la question. L’unité ainsi retrouvée vient cicatriser l’effraction occasionnée par la question, vient apaiser une tension, restaurer un équilibre - au moins provisoirement.

On n’aborde pas un problème à mains nues. D’un point de vue technique, la résolution du problème passe par l’exploitation d’outils, parmi lesquels il y a des problèmes antérieurement résolus :
- ceux déjà résolus par l’élève lui-même lors des exercices qui ont jalonné son cursus scolaire,
- ceux résolus par d’autres et dont les solutions se sont cristallisées dans la culture mathématique de l’humanité (théorèmes, propriétés, définitions, lois, concepts, techniques,…).

Par ailleurs, la résolution du problème met en oeuvre une dynamique de la recherche (inférences, raisonnement,...) alimentée par des contenus précis (objets mathématiques, notions et concepts). C’est au décours d’une activité faite de mise en relation des données entre elles, puis de mise en relation des notions évoquées par les données, puis des notions évoquées par les notions, que surgit souvent la révélation du chaînon manquant susceptible de faire le lien entre ce que l’on a et ce vers quoi l’on tend. Une telle découverte, en levant le voile, donne alors prise à l’élaboration de la solution, laquelle viendra saturer/suturer un énoncé en souffrance et momentanément combler/colmater un sujet en mal de complétude. De même, c’est par association d’idées et recherche d’analogies que le problème du moment pourra être rapproché d’une ou plusieurs situations déjà rencontrées, qu’une structure (ou partie de structure) sera reconnue au sein du questionnement actuel, faisant d’elle la clef à même de faire jouer une serrure qui ne demandait qu’à céder pour rétablir la communication entre deux mondes orphelins, en l’occurrence l’énoncé et la solution, mais aussi le sujet et lui-même.

Encore faut-il pour cela que l’élève ait réussi à s’engager effectivement et pleinement dans un processus de recherche. Ce qui n’a rien d’évident. Pour traiter un problème, en effet, il faut pouvoir (l’énumération qui suit n’est pas exhaustive) : se prendre au jeu d’une recherche à l’issue incertaine, gérer des émotions souvent intenses (à tonalité dépressive, persécutive, etc.), s’arracher à la paralysie, s’activer à imaginer des hypothèses, à bâtir des stratégies, à alimenter un questionnement, se hasarder dans l’inconnu sans savoir si l’on va trouver ni ce que l’on va trouver, tolérer un certain désordre intérieur, articuler dispersion et intégration, vérifier et critiquer les cheminements par lesquels on est passé, s’exposer à l’erreur et à l’échec,...

On peut alors tout à fait comprendre qu’il soit parfois plus confortable et plus économique de court-circuiter purement et simplement ce temps de la recherche, fait d’incertitudes et de cahots. Dans certains cas on voit l’élève attendre que le solution arrive d’elle-même, comme si elle pouvait être trouvée sans avoir à être cherchée, ou comme si comprendre le corrigé revenait à savoir faire le problème. Cependant, ce type d’attitude, défensivement dressé contre ce que toute investigation a d’inquiétant, de douloureux et de difficile, résiste mal à l’insistante et lancinante sollicitation que continue d’exercer le problème. Aussi certains n’ont-ils d’autre recours, pour soulager la tension, que le passage à l’acte consistant à plaquer sur l’énoncé la première structure mathématique venue (en général telle ou telle opération) sans que sa pertinence soit soumise à vérification. On est dans une logique du colmatage en urgence, de l’exonération et de l’apaisement à court terme. Il arrive ainsi qu’évitement actif et placage hâtif viennent en place d’une confrontation et d’une construction certes formatrices mais dont la pénibilité le dispute à l’aléatoire, puisque chercher n’assure pas qu’on va trouver.

Parfois, par bonheur on trouve : on voit, on sait, on tient (la solution). Bref moment de félicité ou simplement de soulagement. Pourtant, on n’en a pas fini avec le problème. En effet, une fois la solution trouvée il faut encore s’astreindre à la valider : pour soi avec la recherche des preuves, pour autrui au moyen d’une mise en mots communicable (la « solution »). Il s’agit maintenant de réussir à exposer de façon convaincante le raisonnement qui serait à même de relier le plus directement et le plus élégamment possible le départ et l’arrivée. Cela, en suivant un cheminement conforme au rituel comme aux canons (à la fois esthétiques et logiques) propres à toute démonstration mathématique. Naturellement une telle communication, idéalement linéaire, fluide, harmonieuse, policée, sans faille ni ambiguïté, sans contradiction ni discontinuité, contraste fortement avec le désordre dans lequel a baigné l’investigation qui l’a précédé - désordre auquel pourtant la solution doit tout.

Il ne suffit donc pas de trouver ; il faut aussi montrer qu’on a trouvé. Il s’agit en quelque sorte de témoigner urbi et orbi que l’on a maîtrisé le problème, que l’on a triomphé du Sphinx. Une telle reconnaissance suppose que l’élève transforme sa solution personnelle en une démonstration publiable, et donc qu’il parvienne à rendre objectif ce qui était intuitif, partageable ce qui était personnel, linéaire ce qui était global, net ce qui était brut. D’où la nécessité de gommer le bricolage laborieux, traversé d’errances et criblé d’erreurs, par lequel on est passé. Ce que l’on présentera, au contraire, c’est un produit fini et poli dont la perfection affichée sera enfin à même de contenter, voire dédommager ou réparer, certaines des figures mythologiques qui peuplent le monde intérieur du sujet.

On le voit, s’engager dans un processus de résolution de problème revient à entamer une odyssée où sont mis à l’épreuve les rapports complexes que chacun entretient avec soi-même comme avec le monde extérieur. L’individu s’y trouve impliqué dans la globalité de son fonctionnement psychologique et mental. En conséquence de quoi, les aides proposées dans le cadre scolaire (RASED, soutien,…) ou à l’extérieur (CMPP,…) peuvent être l’occasion de véritablement mettre en scène et d’élaborer avec l’enfant certaines des attitudes et des compétences (psychiques, cognitives, sociales) qui sont sous-jacentes à la confrontation et au traitement des problèmes de mathématiques.