les tables de multiplication

La planche ACIM :

Une fiche d’exploitation détaillée est publiée dans "Faites des maths" (cycle 3) référence 9252.

LES TABLES DE MULTIPLICATION

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conception : Henri Planchon

OBJECTIFS :
apprentissage des tables de multiplication, propriétés de la multiplication (commutativité, distributivité), représentation géométrique des nombres, multiples et diviseurs, relations multiplication /division, aire, travaux numériques, préparation à l’algèbre.

INTRODUCTION :
Sur la planche figurent toutes les "tables", c’est-à-dire tous les produits qu’il faut apprendre dans les tables de multiplication.
Il s’agit ici d’apprendre ou de réapprendre les tables de multiplication à partir d’un support visuel sollicitant la mémoire spatiale et pas seulement la mémoire auditive.
Chaque produit est associé à une surface pavée de carreaux-unités. Les différents produits, disposés en désordre mais contenus dans une forme rectangulaire, offrent une image visuelle de l’ensemble des tables de multiplication.
La planche constitue pour l’élève un support à l’apprentissage ainsi qu’à l’auto-évaluation.
La mise en rapport avec la division viendra donner une motivation supplémentaire pour l’apprentissage mémorisé des tables.

• EXPLORATION

Distribuer deux exemplaires de la planche à chaque enfant.

Sur la planche, il y a un grand nombre de formes (en traits épais) contenant des petits carreaux. Repérer deux types de formes : rectangles et carrés.

• EXPÉRIMENTATION 1 : les carrés

Repasser d’une même couleur (feutre ou surligneur) le contour de tous les carrés présents sur la planche. Combien y a-t-il de carrés ? [8 carrés].

Estimer : quel est le carré qui contient le plus grand nombre de carreaux ? Trouver le nombre de carreaux qu’il contient, puis celui des autres carrés.

EXPLICITATION

Comment déterminer le nombre de carreaux des différents carrés ? dénombrement 1 à 1, somme des carreaux de chaque ligne ou de chaque colonne, multiplication.

Justifier l’écriture multiplicative ; exemple : on voit qu’il y a "neuf fois 9 carreaux", alors on écrit 9x9.

EXPLOITATION

Écrire dans chaque carré l’écriture multiplicative correspondante puis, sur l’autre exemplaire de la planche, le produit (résultat).

Apprendre par cœur les 8 carrés.

• EXPÉRIMENTATION 2 : premiers rectangles

Quel est le plus grand rectangle (celui qui contient le plus de carreaux) sur la planche ?

Indiquer et justifier les différentes écritures additives et multiplicatives qui lui correspondent [ 9+9+9+9+9+9+9+9 ou 8+8+8+8+8+8+8+8+8 ou 9x8 ou 8x9 ].

EXPLICITATION

Passage d’une somme de termes égaux à une écriture multiplicative (mot "fois").

commutativité de la multiplication.

EXPLOITATION

Repasser d’une nouvelle couleur le contour de quelques rectangles présents sur la planche et écrire à l’intérieur une écriture multiplicative. Sur l’autre exemplaire de la planche, écrire aux mêmes places les produits correspondants.

Apprendre par cœur ces rectangles.

• EXPÉRIMENTATION 3 : toutes les tables

Repasser d’une nouvelle couleur le contour de quelques autres rectangles et écrire à l’intérieur une des deux écritures multiplicatives possibles (au choix), puis sur l’autre exemplaire de la planche, écrire aux mêmes places les produits correspondants.

Continuer progressivement avec les derniers rectangles.

Faire la liste de tous les produits rangés en ordre décroissant [il y a 31 nombres-produits pour 36 écritures multiplicatives différentes] : 81, 72 … 4.

EXPLICITATION

À partir des huit produits présents en haut de la planche (les 2 lignes horizontales supérieures), dégager les règles de construction d’une table de multiplication : ajout d’une ligne ou d’une colonne pour passer de n x m à (n+1) x m.

EXPLOITATION

Apprentissage par cœur (progressif) de tous les produits présents sur la planche. L’élève superpose les 2 exemplaires de la planche et peut s’auto-évaluer.

Évaluation : l’enseignant inscrit un point de couleur dans un des carreaux des rectangles ou carrés à chaque fois que ce rectangle ou carré est su par cœur ; quand une bonne partie de la forme est couverte de points, on peut considérer que l’élève la maîtrise et il peut en colorier toute la surface au crayon de couleur. Au fil du temps, l’enfant comme l’enseignant peuvent ainsi apprécier les progrès et évaluer visuellement ce qu’il reste à travailler.

EXTENSION

Tracer un chemin qui permet de relier le centre de toutes les formes présentes sur la planche ; il faut partir d’une case et la relier au centre de toutes les autres cases, successivement, sans doublon ni omission. Utilisation du chemin comme parcours individuel pour l’apprentissage ou la récitation des tables.

Pour les produits les plus difficiles : découper les formes correspondantes et les agencer sur une feuille blanche de façon originale, puis les apprendre en s’appuyant sur la mémoire visuelle.

• EXPÉRIMENTATION 4 : la géométrie des nombres

Trouver des carrés ou rectangles présents sur la planche qui contiennent un nombre égal de carreaux alors qu’ils n’ont pas la même forme (et sont donc associés à des écritures multiplicatives différentes) [3x4 et 6x2, 8x3 et 6x4, 6x6 et 9x4, 3x6 et 2x9, 4x4 et 2x8].

Par découpage puis recomposition de quadrillages, passer de l’une à l’autre de ces écritures sur une ou deux paires prises comme exemple.

EXPLICITATION

Il y a trois types de nombres entiers : ceux qui peuvent se disposer en carré (les "carrés", exemple : 16=4x4), ceux qui peuvent se disposer en rectangle (exemple : 12=3x4), ceux qui ne peuvent que se mettre en ligne (les nombres premiers, exemple : 7).

EXPLOITATION

Choisir un nombre inférieur à 10 et construire, sur une feuille de papier quadrillé, la suite des quadrillages qui figurent ses multiples (c’est-à-dire la table de multiplication du nombre choisi), depuis nx1 jusqu’à n x 11 ou n x 12.

EXTENSION

Découper et recomposer la forme 6x6 en un rectangle 4x9, et vice versa.

Choisir un nombre supérieur à 100 et essayer de le construire sous la forme d’un quadrillage, en déduire les éventuelles écritures multiplicatives qui en rendent compte.

Calcul du nombre total de carreaux présents sur la planche [30x37]

Vocabulaire et notion de multiple et diviseur : hachurer (sens ///) les multiples de 2, hachurer (sens \\) les multiples de 3 ; alors les produits doublement hachurés sont les multiples de 6.

• EXPÉRIMENTATION 5 : multiplication et division

Choisir trois rectangles différents, trouver pour chacun deux écritures de division (dividende, diviseur, quotient). Exemple : à partir du rectangle dont le produit est 63, on obtient 63 : 9 = 7 et 63 : 7 = 9.

EXPLICITATION

À toute écriture multiplicative peuvent s’associer automatiquement une autre écriture multiplicative (commutativité) et deux divisions ; notion d’opération "inverse".

EXPLOITATION

Placer l’exemplaire portant les produits au-dessus de l’autre planche(exemple : 56) et, pour chacun des résultats, retrouver les écritures multiplicatives correspondantes (8x7 et 7x8). Traduire sous forme d’une ou deux divisions (une pour les carrés, deux pour les rectangles).

À partir d’une multiplication de nombres à deux chiffres, déduire les deux divisions correspondantes. Exemple : 12x15=180, donc 180 : 12 = 15 et 180 : 15 = 12.

Application au calcul mental et aux opérations à trou.

EXTENSION

Décalquer le contour des formes sur deux feuilles blanches ; écrire, sur chacune, l’une et l’autre division, à sa bonne place. Exemple : "63:7" sur l’une et "63:9" dans le rectangle correspondant sur l’autre.

• EXTENSION : mesure et aire

Passer du comptage de carreaux à la mesure des côtés (graduation). Introduction du vocabulaire "Longueur" et "largeur".

Aire du carré et du rectangle en relation avec les tables de multiplication : quelle est l’aire d’un carré de 7 cm de côté ? quelles sont les mesures possibles (nombres entiers) des côtés d’un rectangle dont l’aire serait 24 carreaux ?

Relation multiplication/division dans les équations, dans le calcul d’aire.

• EXTENSION : algèbre

Distributivité et factorisation : en haut de la planche on peut visualiser, par exemple, que 3x6 + 3x7 = 3x(6+7).

De même, on visualise que 4x6 = 4² + 4x2. Tout rectangle contient un carré plus un rectangle.

Carré et racine carrée.

Une curiosité : Suite des nombres impairs et suite des carrés : 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16, etc.