points, segments, droites et angles

un exemple de démarche systémique

samedi 19 juillet 2014, par Henri Planchon.





Modélisation 1
modélisation 1




Modélisation 1 bis
modélisation 1 bis


Chemins

La route qui va de la zone A à la zone B, même s’il y a des virages, peut se représenter schématiquement (topologiquement) par un segment de droite, où les zones sont représentées par les extrémités A et B et le croisement des deux routes par le point C.

En suivant ce principe topologique, on peut considérer la modélisation 1 (équerres) comme le plan d’une ville ou d’un quartier. Une route l’entoure entièrement, elle définit son pourtour. Sur cette route, on rencontre plusieurs points que l’on repère par la notation d’une lettre majuscule. Les lettres sont attribuées à chaque point, dans l’ordre alphabétique, en commençant par le point A qui se trouve au coin en haut et à gauche (cf. modélisation 1 bis). Sur la partie horizontale et en se déplaçant vers l’extrémité droite, on rencontre les points B, C et D. À partir du point D, il y a changement de direction pour aborder la partie verticale descendante, où l’on note les points E, F et G. À partir de G, on aborde une nouvelle partie horizontale avec, de droite à gauche, les points G, H et I. Enfin, sur la partie verticale ascendante, qui remonte vers A, on trouve les points I, J et K.

Remarquer que les points A, D, G et I sont chacun sur au moins deux chemins à la fois, l’un horizontal et l’autre vertical. Ces quatre lettres définissent les quatre sommets du quadrilatère nommé ADGI.

Sur le chemin droit BI, en se déplaçant de B vers I, on note les points L, M et N.
Sur le chemin droit BH, en allant de B vers H, on note les points O, P, Q et R.
Dans l’ensemble de la figure, il reste un seul point à noter, le point S.

Deux points sur un chemin droit définissent un intervalle.

Exercices

1 - Dresser la liste des lettres qui sont sur le pourtour de la figure. Les écrire dans l’ordre. Combien y en a-t-il ?
Combien y a t-il d’intervalles comptés sur la totalité du pourtour ?
(Réponse : ABCDEFGHIJK, 11 lettres, 11 intervalles).

2 - Sur le pourtour de la figure, indiquer quelles lettres sont entre A et I, et lesquelles sont à l’intérieur des deux intervalles définis par A et I.
(Réponse : KJ et BCDEFGH).

3 - Noter, dans l’ordre alphabétique, la suite de toutes les lettres inscrites sur le dessin.
(Réponse : A,...,S ; 19 lettres).

4 - Reproduire la verticale BH. Placer les quatre points O, P, Q, R, en respectant les proportions du dessin ; pour ce faire, repérer sur le bord d’une feuille les distances sur le dessin puis les reporter sur le tracé de BH.

5 - Même exercice pour les verticales AI et DG.

Déplacements

Si je pars de A et me dirige vers le point B, je prends la direction de la droite AB.
Si je pars de A et me dirige vers le point C, je prends la direction de la droite AC.
Si les deux droites AB et AC sont confondues (superposées), alors je me déplace toujours dans la même direction quand en partant de A je vais vers B ou vers C.

Deux droites non superposées indiquent la même direction si elles sont parallèles.

Organisation de connaissances

1-Il y a une infinité de droites passant par un même point ; ces droites sont dites alors "concourantes".

2-Par deux points il ne passe qu’une seule droite.

3-Il y a un nombre infini de points sur une droite.

4-Une droite définit une direction.

5-Deux points sur une droite définissent un intervalle.

6-Deux points sur une ligne fermée définissent deux intervalles.

7-Deux droites qui ont la même direction sont parallèles.

8-Deux droites qui n’ont pas la même direction sont concourantes.

9-Toutes les droites horizontales sont parallèles entre elles, comme toutes celles qui sont verticales.

10-Le pourtour d’une figure marque la frontière entre un intérieur et un extérieur.

Lecture et mémorisation des phrases ci-dessus en association avec la modélisation-mots ci-dessous. Exemple : phrase 1, mots 27, 1, 17, 2, ...

Lecture et écriture du contenu des étiquettes indiquées par leur numéro.
Une telle modélisation-mots est à élaborer en groupe pour donner un exemple de réalisation.
La liste des 27 mots étant relevée par chacun des participants, ceux-ci sont appelés à créer leur propre organisation, leur propre « modélisation-mots », laquelle est remise au formateur et éventuellement évaluée.


EXERCICES SUR LES MODÉLISATIONS 2 ET 3

Modélisation 2

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modélisation 2



Modélisation 3

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modélisation 3



- Modélisation 2 : une étiquette est repérée par son numéro. Le mot est transcrit dans l’étiquette correspondante de la modélisation 3.
- Évaluation, lecture et écriture de mots (modélisation 3).


EXERCICES SUR LA MODÉLISATION 1

- Reproduction de la modélisation avec le plus de précision possible pour les longueurs et pour les angles (à l’aide des équerres).
- Compléter la figure (EFS) de manière à la rendre symétrique par rapport à l’axe FE.

Articles

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    Repérer dans ce dessin trois cercles complètement tracés en précisant leur centre et un de leurs diamètres.
    On peut repérer ici :
    le cercle de centre B avec pour diamètre OE,
    le cercle de centre C avec pour diamètre DF,
    le cercle de centre O avec pour diamètre EF (placer le point F).
    Repérer les tracés des six demi-cercles n’appartenant pas aux cercles complets déjà repérés.
    On peut trouver ici :
    le demi-cercle de diamètre OB et de centre O1 (placer O1),
    le demi-cercle de diamètre BE et de centre O2 (placer (...)

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    Les relations addition/soustraction
    Cette modélisation montre comment l’addition et la soustraction sont étroitement liées.
    1)L’addition est commutative : 5 + 3 = 3 + 5 = 8
    2)Lorsqu’on a une somme de deux nombres, l’un des termes retranché à la somme donne l’autre terme :
    si 5 + 3 = 8 alors 8 - 3 = 5
    3)Conjugaison des deux principes précédents :
    5 + 3 = 8 alors 8 - 3 = 5 et 8 - 5 = 3
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    si a + b = c alors c - b = a et c - a = b
    autre représentation de la même (...)

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    Un exemple de modélisation géométrique, les Superpositions :
    · Seule la modélisation 1 est en possession des apprenants (format A4).
    · Consignes :
    Repérer sur le dessin la présence de
    trois petits cercles - trois grands cercles - trois triangles - trois carrés
    Colorier en bleu les trois petits cercles
    Colorier en bleu les deux triangles du haut, excepté le carré qui sera colorié en vert ; ce carré se trouve (...)

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